Mitä yhteistä on velkakirjalainan korkoriskillä ja putoavalla omenalla?

Velkakirjoihin sijoittaminen saadaan monesti näyttämään vaikeammalta, kuin se oikeasti on. Yksinkertaisetkin asiat hukkuvat rahoitusalan jargoniaan ja asioiden turhaan monimutkaistamiseen. En omaa rahoitusalan koulutusta, enkä edes itse ole varsinaisesti velkakirjoihin koskaan sijoittanut. Itse asiassa myyn niitä juuri tällä hetkellä lyhyeksi. No mutta siinähän onkin jo ihan riittävä motiivi näiden asioiden tutkiskeluun ja pohdiskeluun.

Siksi haluankin nyt käydä läpi muutamia olennaisia velkakirjojen korkoriskiin liittyviä asioita. Tarkoitukseni on tässä kirjoituksessa selittää asiat mahdollisimman selkeästi, kuitenkaan yksinkertaistamatta liikaa. Takaan, että tämän artikkelin jälkeen kuka tahansa peruskoulun käynyt henkilö ymmärtää täydellisesti, mitä tarkoittaa käsitteet korkoriski, duraatio ja konveksisuus. Aion nimittäin tehdä asioista helpon vertauksen putoavaan omenaan. Kuten kuvasta näkyy, Juha Sipilän näköinen BofA:n analyytikko onkin jo tiivistänyt asian hienosti fläppitaululle. Minä aion kuitenkin selittää teille tämän asian pohjia myöten.

Artikkelista hyötyy kuka tahansa, joka on kiinnostunut velkakirjoihin sijoittamisesta tai niiden vastapuolella olemisesta (eli shorttaamisesta), olipa kyseessä sitten mikä tahansa velkakirja. Niihin kaikkiin kun liittyy korkoriskiä. Mennään siis asiaan.

Mikä on korkoriski?

Velkakirjoihin (vaikkapa yrityslainoihin) sijoittava henkilö altistuu pääasiassa kolmelle eri riskille. Luottoriskille (riippuu lainanottajan maksukyvystä), likviditeettiriskille (silloin, kun tarkoituksena on myydä laina pois ennen sen erääntymistä eli maturiteettia) ja korkoriskille. Korkoriski koskee kaikkia mahdollisia lainoja. Se kuvaa siis sitä, miten paljon lainan arvo ja siten myös korko muuttuu yleisen markkinakoron muuttuessa. Lainan arvon muuttuessahan myös lainan korko muuttuu (ja nimenomaan käänteisesti eli koron laskiessa lainan arvo kasvaa ja toisinpäin). Korkoriskistä on olemassa todella paljon väärinkäsityksiä, joten siksi haluan käsitellä juuri sitä riskiä.

Mikä on duraatio ja kuvaako se korkoriskiä?

Rahoitusalan jargonian mukaisesti duraatiolla tarkoitetaan velkakirjalainan painotettua efektiivistä juoksuaikaa, jossa huomioidaan pääoman palautukset ja koronmaksut. Lainan duraatio onkin tavallisesti lyhyempi, kuin sen maturiteetti. Tämä on oppikirjan määritelmä, eikä siitä suoraan sanottuna voi ymmärtää yhtään mitään.

Hieman mutkia oikoen, duraatio kuvaa sitä, miten paljon lainan markkina-arvo muuttuu yleisen markkinakoron muuttuessa. Jos velkakirjan duraatio on vaikkapa 5 vuotta, ja markkinakorko nousee 2 %, niin tällä edellä mainitulla ajatuksen juoksulla velkakirjan arvo laskee 5*2 % eli 10 %. Tässä kohtaa kannattaa palauttaa mieleen velkakirjan hinnoittelu: Jotta kuponkikorko voi prosentuaalisesti nousta, täytyy lainan arvon laskea. Tästä syystä duraatio rinnastetaan yleensä suoraan kuvaamaan velkakirjan korkoriskiä. Jos ensimmäinen määritelmä duraatiolle oli hepreaa, niin tämä määritelmä taas on käytännössä väärä. Eikö mistään voisi löytyä duraatiolle täsmällistä määritelmää, jonka kaikki voivat ymmärtää?

Duraatio itse asiassa kyllä kuvaa lainan koron muutosta per markkinakoron muutos, mutta vain likimäärin. Mitä suurempi on yleisen markkinakoron muutos, sitä epätarkemmin duraatio kuvaa varsinaisen velkakirjan koron muutosta. Epätarkkuus kääntyy aina sijoittajan hyväksi eli jos yleinen markkinakorko esimerkiksi nousee, lainan arvo laskee vähemmän kuin sen duraation perusteella pitäisi laskea. Vastaavasti jos markkinakorko laskee, lainan arvo nousee enemmän, kuin duraation perusteella voisi olettaa. Miksi? Annetaan tässä kohtaa hämmästyttävän paljon Juha Sipilää muistuttavalle Bank of American korkoriskianalyytikolle vuoro selittää.

Duraatio kuvaa lainan hinnan hetkellistä muutosnopeutta markkinakoron funktiona

Tässä kohtaa haluan (valitettavasti) palauttaa teidät takaisin peruskoulun matematiikan ja fysiikan tunneille. Muistatte varmaan, kuinka mesoaviin ja kiroileviin lapsiin kyllästynyt opettaja selitti innoissaan, miten kiihtyvyys on nopeuden derivaatta ajan funktiona? No en minäkään. Joka tapauksessa, jos kappaleen nopeus muuttuu ajan myötä, siitä saadaan mallinnettua x,y-koordinaatistoon kuvaaja, jossa y-akselilla on nopeus ja x-akselilla aika. Otetaan yksinkertaistettu esimerkki omenan putoamisesta maailmassa jossa ei ole ilmanvastusta ja maailmassa jossa on ilmanvastusta.

Vasemmalla oleva kuvaaja kuvaa siis tilannetta, jossa ei ole huomioitu ilmanvastusta, oikeanpuoleisessa kuvaajassa ilmanvastus on huomioitu. Jos ilmanvastusta ei ole, saadaan putoavan omenan kiihtyvyys muodostuvan suoran kulmakertoimesta (nopeuden muutos/ajan muutos). Putoamiskiihtyvyys (9,81 m/s2) on vakio koko putoamisen ajan.

Oikean puoleisessa kuvassa vaikuttaa ilmanvastus, ja putoavan omenan kiihtyvyys muuttuu koko ajan (se pienenee), kunnes kappale saavuttaa ns. rajanopeuden (joka näyttäisi tässä tapauksessa olevan n. 50 m/s). Rajanopeudessa kiihtyvyys on 0 eikä omenan nopeus siten enää muutu.

Voimme määrittää putoavalle omenalle, johon vaikuttaa ilmanvastus, hetkellisen kiihtyvyyden kuvaajasta, piirtämällä siihen aikapisteeseen tangentin, jonka hetkellä kiihtyvyys halutaan määrittää. Tangentin kulmakerroin kertoo meille kiihtyvyyden kyseisellä ajan hetkellä. Yllä olevassa kuvassa tangentit on piirretty pisteisiin t=3,0 s ja t=7,0 s. Tangentin kulmakerroin voidaan myös määrittää matemaattisesti jos v(t) -funktio tunnetaan. Tällöin kiihtyvyys ajan hetkellä t on, v(t) -funktion derivaatta pisteessä t. Derivaatta kuvaa siis jotain muutosnopeutta. Tässä tilanteessa nopeuden derivaatta ajan suhteen kuvaa kirjaimellisesti muutosnopeutta: nopeuden muutosta ajan suhteen eli kiihtyvyyttä. Kuten kuvaajasta näkyy, kiihtyvyys eli tangentin kulmakertoimen suuruus heikkenee koko ajan. Se johtuu siitä, että ilmanvastus kasvaa nopeuden kasvaessa.

Nyt jokainen varmasti miettii, miten helvetissä tämä liittyy yhtään mihinkään? Tulinko tänne asti heiluttelemaan käsiä ja esittämään kuvaajia omenoiden putoamisesta, vain vittuillakseni kaikille lukijoille? Miten kiihtyvyys, ilmanvastus, derivaatat ja tangentit liittyvät millään tavalla velkakirjalainan duraatioon? Kai velkakirjalainamarkkinat ovat hieman monimutkaisempi asia kuin kappaleen putoaminen, opetetaanhan niiden toimintaa sentään yliopistossa ?

Itse asiassa velkakirjojen korkoriski ja omenan putoaminen ovat täysin sama asia (ainakin teoriassa, mutta ei mennä tähän pohdintaan vielä). Johdattelemani analogia kuvaa duraatiota täydellisesti: Duraatio = kiihtyvyys! Matemaattisesti duraatio on siis lainan hinta-tuottosuhdetta kuvaavan yhtälön ensimmäinen derivaatta. Duraatio voidaan siten määrittää graafisesti: Se on lainan hintayhtälön tiettyyn markkinoiden yleisen korkotason mukaiseen pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Kas näin:

 

Kuvaajassa x-akselilla on siis markkinoiden yleinen korkotaso ja y-akseilla lainan markkinahinta. Kuvaajassa duraatio on määritetty, kun markkinakorko on 8% (eli lainan arvon on silloin 60 dollaria). Duraatio kuvaa siis lainan hinnan muutosnopeutta markkinakoron muuttuessa. Määritetään duraatio markkinakorkotasolla 8 % ylläolevasta kuvaajasta graafisesti: Tangentti on jo piirretty, joten meidän täytyy vain laskea hinnan muutos ja markkinakoron muutos. Näistä saadaan tangentin kulmakertoimeksi

Matemaattisesti duraation voi määrittää monella eri tavalla. Tunnetuin näistä on Macaulayn duraatio, joka saadaan kaavasta:

Missä t= kassavirran ajankohta, CFt= kassavirta ajankohtana t, r= markkinoiden korkotaso tarkasteluhetkellä, n= korkokausien lukumäärä ja P = lainan bruttohinta tarkasteluhetkellä.

Otetaan esimerkki. Lainan maturiteetti on 3 vuotta, lainan kuponkikorko on 5 % ja markkinakorko on 3%. Mikä on duraatio? Lasketaan ensin lainalle hinta (DCF) kassavirtojen diskonttomallilla:

Sitten lasketaan Macaulayn duraatio:

Duraatiolla voidaan vain approksimoida lainan arvon muutosta

Kun duraatio halutaan suhteuttaa vallitsevan korkotason muutokseen, käytetään modifioitua duraatiota. Se saadaan jakamalla Macaulayn duraatio tekijällä (1+r) eli Modifioitu duraatio = Macaulayn duraatio/(1+r), missä r on tarkasteluhetkellä vallitseva markkinakorko. Modifioitu duraatio kuvaa siis approksimaatiota siitä, miten paljon lainan korko muuttuu, kun markkinakorko muuttuu 1 %-yksikön verran. Edellä mainitusta esimerkistä laskettuna modifioitu duraatio on siis 2,9/1,03 = 2,8. Korkotason noustessa 1 %:lla kyseisen lainan arvo laskee likimäärin 2,8 %. Todellisuudessa lasku on kuitenkin alle 2,8 %.

Kuten sanoin, kyseessä on siis vain approksimaatio eli likimääräistys, joka perustuu lineaariseen ekstrapolointiin piirretystä tangentin kuvaajasta. Tämä tarkoittaa siis sitä, että katsomme mitä y-akselin arvoa (hintaa) tangenttisuora vastaa, kun korko muttuu 1 %- -yksikön ylös tai alas. Tässä tapauksessa siis joko arvoon 9% tai 7 %.

Kuvaajasta näkyy aika hyvin, että jos korko laskee 2 % yksikköä (8% –> 6 %), saadaan duraatiolla approksimoitua lainan arvoksi 60*(1+ 0,1667*2) = 80 dollaria. Todellisuudessa arvo näyttää kuitenkin olevan 85 dollaria. Duraatio kuvaakin lainan koron ja siten sen arvon muutosta per yleisen korkotason muutos tarkasti vain äärettömän pienellä muutosalueella. Mitä suuremmaksi yleisen markkinakoron muutos kasvaa, sitä epätarkempi on duraation antama approksimaatio lainan koron muutokselle. 

Kappaleen muotokerroin ja konveksisuus

Korkoriskin määrittämiseksi keinot eivät kuitenkaan lopu tähän. Miten voisimme parantaa ennusteiden tarkkuutta? Mitä Juha Sipilä tekisi? Niin paljon kysymyksiä… Tässähän voisi toki alkaa kokeellisesti määrittämään kuvaajan derivaatan arvoja eri kohdissa (eli laskemaan duraatioita) ja sitä kautta voisimme iteroimalla saavuttaa hieman tarkemman ennusteen lainan hintamuutokselle. Täydelliseen tarkkuuteen emme silti tällä tavalla pääse.

Helpompiakin keinoja onneksi on. Palataan vielä aiempaan esimerkkiin putoavasta omenasta. Erilaisiin kappaleisiin ilmanvastus vaikuttaa eri tavalla. Se, miltä putoavan kappaleen v,t-kuvaaja näyttää, riippuu täysin kappaleen muotokertoimesta. Juha Sipilän näköisen BofA:n analyytikon BofA-lippiksellä on erilainen muotokerroin kuin omenalla, ja siten myös näiden kappaleiden putoamisesta piirtyvät v,t-kuvaajat näyttävät eriltä.

Samalla periaatteella velkakirjoillekin on olemassa erilaisia ”muotokertoimia”, ja siten erilaiset velkakirjat muodostavat erilaisia hinta-tuottosuhde kuvaajia. Velkakirjan muodostaman hinta-tuottosuhde kuvaajan muotoa kuvaa konveksisuus. Kun duraatio kuvasi lainan hinnan muutosnopeutta markkinoiden korkotason funktiona (ensimmäinen derivaatta), niin konveksisuus kuvaa duraation muutosnopeutta markkinoiden korkotason funktiona. Putoavan kappaleen esimerkissä konveksisuus kuvaisi siis sitä, miten nopeasti putoavan kappaleen kiihtyvyys pienenee = kiihtyvyyden muutosnopeus. Siten konveksisuus onkin velkakirjan hinta-tuottosuhteen yhtälön toinen derivaatta. Se kuvaa siis sitä, kuinka kupera hinta-tuottosuhde kuvaaja on tietyllä markkinakorkomuutosten välilllä. Kun palataan katsomaan kuvaajaa velkakirjan hinta-tuottosuhteesta, voidaan päätellä, että konveksisuus kasvaa, kun markkinakorko alenee ja vastaavasti konveksisuus laskee, kun markkinakorko kasvaa. Pienempi konveksisuus tarkoittaa siis sitä, että duraation avulla voidaan tehdä tarkempia arvioita lainan hintamuutoksista suhteessa markkinakoron muutoksiin. Siinä mielessä konveksisuus kuvaakin epäsuorasti duraatio-ennustemalliin sisältyvää virhettä.

Ominaisuuksiltaan erilaisten lainojen hinta-tuottosuhteen kuvaajat ovat eri tavoin konvekseja. Konveksisuudesta saadankin siis määritettyä modifioidun duraation laatimalle ennustelle ns. korjaava tekijä. Konveksisuus saadaan derivoimalla duraatio korkotason muutoksen suhteen:

Missä CF= Kassavirta ajankohtana t, r= markkinakorko tarkasteluhetkellä, t =kassavirran ajankohta ja P= lainan bruttohinta tarkasteluhetkellä.

Lasketaanpa jo mainitulle esimerkkilainalle konveksisuus. Lainan bruttohinta oli siis 105,7 dollaria, kuponkikorko 5 % ja markkinakorko 3 %:

 

Konveksisuuden antama korjaustekijä saadaan kertomalla konveksisuuden luku-arvo markkinakoron muutoksen neliöllä. Jos korkotaso muuttuisi esimerkiksi 2 %:a, saadaan korjaustekijäksi 3,64*(0,02)2= 0,001456. Jos siis markkinakorko nousee 3 %:sta 5 %, lainan arvon lasku on 2%*duraatio – korjaustekijä = 2 %*2,8 – 0,1456% = 5,45 %. Pelkällä duraatiolla approksimoituna lainan arvo laskisi 5,6 %. Vastaavasti jos markkinakorko laskee 3 %:sta 1 %, lainan arvo nousee 2%*2,8 + 0,01456 = 5,75 %.

Korkoriskin määrittäminen täydellisesti on mahdotonta

Konveksiivisuus on siis suoraan verrannollinen lainan maturiteettiin ja kääntäen verrannollinen lainan kuponkikorkoon sekä markkinakoron tasoon. Konveksisuus on siis suurimmillaan korkean maturiteetin ja matalan kuponkikoron lainoissa silloin, kun markkinakorkotasokin on matala. Tällöin pelkkä duraatio sopii huonosti korkoriskin arviointiin. Vastaavasti konveksisuus on minimissään matalan maturiteetin ja korkean kuponkikoron lainoissa silloin, kun markkinakorkotasokin on korkea. Tällöin pelkän duraation avulla voidaan tehdä melko hyviä arvioita lainan korkoriskistä.

Todellisuudessa lainojen hinta-tuottosuhteen kuvaajat ja siten lainojen konveksiivisuus eivät ole staattisia, vaikka mikään kaavoissa esiintyvä arvo ei varsinaisesti muuttuisi. Siinä mielessä putoavan kappaleen analogia ei olekaan aivan täydellinen. Velkakirjamarkkinoilla korkoriski toimisi täydellisenä analogina putoavalle kappaleelle silloin, kun kappale muuttaa muotoaan kesken putoamisen. Emme kuitenkaan voi täysin eksaktisti tietää, millä tavalla kappaleen muoto muuttuu. Ja se onkin tämän mallin ongelma.

Siksi täydellistä ennustetta siitä, miten lainan korko muuttuu markkinakoron muuttuessa ei voi laatia käyttämällä staattisia tasapainomalleja. Konveksisuuden käyttäminen on kuitenkin vähemmän epätäydellinen tapa lisätä ennusteiden tarkkuutta pelkkään duraatioon verrattuna.

Duraatiota voi käyttää hyvin nyrkkisääntönä lyhyen aikavälin korkomuutoksia arvioitaessa. Pidemmän aikavälin ennusteisiin kannattaa ottaa mukaan konveksisuus. Jos mennään todelliseen maailmaan, niin pankeilla on todennäköisesti tässä kirjoituksessa esitettyjä malleja huomattavasti hienostuneemmat tavat korkoriskin määrittämiseen, jotka ottavat huomioon myös hinta-tuottosuhdekäyrien dynaamisuuden. Tässä kohtaa kuitenkin tulee ainakin minulla vastaan tiedon rajallisuus. Arvostan jos jollain lukijalla on heittää tähän jotain näkemystä. Myös korjata saa ja pitää jos virheitä löytyy.

PS: Paitsi Juha Sipilän näköistä Bank of American analyytikkoa ei saa korjata Juha Sipiläksi. Kyseessä on oikeasti vain hämmästyttävä yhdennäköisyys. Vähän samaan tapaan kuin vertauksessani putoavasta omenasta ja velkakirjamarkkinoiden korkoriskistä.

7 thoughts on “Mitä yhteistä on velkakirjalainan korkoriskillä ja putoavalla omenalla?”

  1. Pienen selvitystyön jälkeen totesin myös duraation yksikön olevan vuosi, joten virhettä ei taida tuossa olla.

    Jos nopeus-kiihtyvyys-vertauksesi pätee, velkakirjan arvon pitäisi selvitä yksinkertaisesti integroimalla duraation funktiota markkinakorkojen suhteen. Eli samaan tapaan kuin selvität kappaleen nopeuden tietyllä ajanhetkellä t integroimalla kiihtyvyyttä ajan suhteen (vt = v0 x (0->t)∫ a(t) dt), velkakirjan arvon tietyllä markkinakorolla pitäisi ratketa integroimalla duraatiota markkinakoron suhteen. Eli Pr2 = Pr1 x (r1->r2)∫ D(r) dr); missä r2 = uusi markkinakorko, r1 = vanha markkinakorko, Pr2 = velkakirjan hinta uudella markkinakorolla, Pr1 = velkakirjan hinta vanhalla markkinakorolla ja D(r) = tekstissä esittelemäsi Macaleyn duraatio, jossa P = DCF(r) (eli lainan bruttohinta markkinakoron funktiona). Harmillisesti tähän kommenttikenttään ei voi kaavoja lisätä, joten kommentti jäänee aika epäselväksi. Tuloksena oleva funktio taitaa käsin olla hiukan työläs ratkaista, mutta laskimella onnistuu nopeasti.

    1. Kiitos hyvistä kommenteista!

      Ymmärrän mitä haet takaa. En kyllä heti keksi mitään syytä etteikö tuo esittelemäsi menetelmä duraation integroimisesta markkinakoron suhteen olisi toimiva. Eli kyllähän se velkakirjan arvo pitäisi tuolla menetelmällä kaiken järjen mukaan ratketa. Mutta kuten mainitsit, niin tuloksena tuleva funktio saattaa olla vähän hankala käyttää käytännössä….Tuossa tekstin esimerkissä pitäisi siis laskea määrätty integraali duraatiosta välillä 0,03–>0,005 r:n suhteen ja tuo r pitäisi ottaa huomioon myös tuolla duraatiofunktion jakajassa eli tuo 105,7 pitää korvata DCF:n kaavalla (jossa siis esiintyy myös r)? Syötin tällaisen integraalin huvikseni symboliseen laskimeen ja saan tulokseksi 0,02. Ajattelussani menee nyt ilmeisesti jokin pahasti vikaan?

      Tuolla konveksisuudesta lasketulla korjaavalla tekijällä ja duraatiolla lainan arvon pitäisi muuttua arvosta 105,7 arvoon 103,459, kun markkinakorko muuttuu 3 –> 5. Kerro ihmeessä jos keksit, miten tuon tuloksen saisi laskettua integroimalla. Laita vaikka sähköpostiini (osakesaastaja@gmail piste com) ratkaisu jos se on tässä kommenttikentässä on hankalaa tuo esittää. Lisään tuon ratkaisun sitten tekstiin.

  2. Hei!

    Onkohan tässä kohtaa virhe: ”Jos velkakirjan duraatio on vaikkapa 5 vuotta, ja markkinakorko nousee 2 %, niin tällä edellä mainitulla ajatuksen juoksulla velkakirjan arvo laskee 5*2 % eli 10 %.”? Tarkoitat varmaan tässä duraatiolla maturiteettiä?

    Kiitokset selkeästä tekstistä!

  3. Kiitos hyvästä artikkelista. Pakko hieman saivarrella. Teit yleistyksen, että duraatio on yhtä kuin kiihtyvyys. Ymmärrän, että asiat vastaavaat toisiaan tuossa ilmanvastus esimerkissä, mutta yleisesti ei.

    Tämä on jo sivuseikka, mutta en aivan ymmärtänyt tuota velkakirjan hinnan määritystä ja muuttumista. Toki tajuan että siihen on tuo kaava, mutta voisitko avata vähän mihin se oikein perustuu?

    Kiitos vielä!

    1. Kiitos kommentista!

      Hyvä huomio. Matemaattisesti ei ole oikein tehdä niin laajoja yleistyksiä, sillä kiihtyvyyttä on monenlaista (muuttuvaa ja staattista). Ajattelin, että kaikki osaisivat tuon kiihtyvyys=duraatio esimerkin yhdistää juuri tähän putoavan omenan tapaukseen (kun ilmanvastus vaikuttaa).

      Hmm tein tosiaan oletuksen, että lukija ymmärtää diskonttauksen ja rahan aika-arvon periaatteet. Loppujen lopuksi eipä ne nämäkään ole mitään maalaisjärjellä pääteltäviä itsestäänselvyyksiä. Voisin tosiaan kokeilla tehdä tuosta kassavirtojen diskonttokaavasta juttua. Ja siihen liittyen ihan yleisestikin rahan aika-arvosta, joka liittyy aika vahvasti tähän. Katsotaan jos keksin jotain hyödyllistä aiheesta. En haluaisi toistaa niitä samoja saioita, mitä oppikirjoista ja wikipediasta jo löytyy. Siihen asti en siis voi muuta kuin ohjata sinut wikipedian pariin 😀

      https://fi.wikipedia.org/wiki/Diskonttaus

      Tässä myös opetus tv:n juttua aiheesta: https://opetus.tv/mab/mab7/diskonttaus/

  4. Kiitos! Selitit asian aivan käsittämättömän hyvin. Eli duraatio antaa siis aina tavallaan ”pahimman mahdollisen” ennustuksen tulevasta?

    Oletko muuten koskaan miettinyt, että joku voisi jopa maksaa näin hyvistä opaskirjoituksista?

    1. Kiitos kommentista!

      Juurikin näin. Duraatio antaa siis aina todellisuutta ”ankeamman” ennusteen.

      Heh. Enpä ole miettinyt. Ainakin toistaiseksi olisi vähän outoa alkaa myymään mitään ”koulutusmateriaalia”, kun ei mnulla mitään alan koulutustakaan ole. Minulle riittää se, että itse opin samalla kun kirjoitan näitä. Mukavaa jos näistä on samalla apua myös muillekin.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *